Formeln för exponentiell tillväxt

Känner du till schackbrädesproblemet eller riskornen på schackbrädet? Läs mer i detta inlägg om den klassiska gåtan och det matematiska problemet som visar formeln för geometrisk/exponentiell tillväxt eller geometriska talföljder!

Problemet med riskornen på schackbrädet förtjänar en plats i matematikens historia för att det i århundraden använts för att demonstrera geometrisk tillväxt eller geometriska talföljder. Det är också ett av de äldsta exemplen på schack som förekommer i gåtor.

Riskornen på schackbrädet
Riskornen på schackbrädet, även sädeskornen på schackbrädet, är ett matematiskt problem som visar den snabba ökningshastigheten vid exponentiell tillväxt. Problemet fomuleras enligt:

Om man på ett schackbrädes rutor lägger riskorn så att man på den första rutan placerar ett riskorn och därefter dubblar antalet för varje ruta, det vill säga på den andra rutan lägger 2, på den tredje 4, på den fjärde 8 etcetera, hur många riskorn kommer då att ligga på schackbrädet när det lagts ut riskorn på samtliga 64 rutor?

Det motsvaras av en summa enligt:
{\displaystyle T_{64}=1+2+4+\cdots +2^{63}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}=\sum _{i=1}^{64}2^{(i-1)}=2^{64}-1\,}
Talet blir 18 446 744 073 709 551 615 eller ungefär 18 och ett halvt triljoner.

En illustration av principen nedan.



Matematiska problemets namn
Namnet påstås komma från en legend om schackspelets ursprung nedtecknad av den arabiske vetenskapsmannen Ibn Kallikahn 1256. Historien handlar om när en smart ägare, eller ibland uppfinnaren av ett schackbräde, storvisiren Sissa Ben Dahir visar och lär den förmögne kung Shirham av Indien schack. Kungen imponeras och ber att få köpa uppfinningen. Sissa, ägaren till schacket, föreslår då att betalningen ska ske genom att riskorn eller andra sädeskorn ska läggas enligt det matematiska problemet. Kungen tycker det verkar vara ett billigt pris utan att inse att mängden ris är tusenfalt större än världens produktion av ris. Han sätter sin skattmästare på att beräkna mängden ris och väntar sig ett snabbt svar. När han efter dagar av väntan får svaret att det är omöjligt att leverera de begärda mängderna låter han avrätta schackspelets ägare. I andra varianter av historien belönas ägaren med att bli kungens nya skattmästare.

Mängden
Om ett riskorn väger 25 milligram motsvarar 18 triljoner riskorn ungefär 461 miljarder ton ris. Det är ungefär tusen gånger större än den årliga världsproduktionen av ris var år 2010. Räknar man om det till en pelare med ris, jämnt fördelat över ett schackbräde med sidan 40 cm, får den höjden 3,20×1012 m. Detta är ungefär avståndet som det tar ljuset tre timmar att färdas. Antagen densitet är 0,9 kg/l.

Varianter på historien
Det finns flera andra varianter på hur exponentiell tillväxt genom fördubbling använts för att luras i affärer:

  • En av Julius Caesars generaler svarade på frågan vad han ville ha för belöning att han önskade sin vikt i guld hundrafalt. Caesar ville inte verka snål och föreslog att han skulle få hämta ett guldmynt första dagen, två den andra, fyra den tredje tills han inte orkade bära hem mer. Redan på den artonde dagen fick generalen avbryta hämtandet efter att ha lyckats hämta ett värde någon gång sin egen vikt.
  • En köpman erbjuder en kollega förslaget att han ger kollegan 100 000 kronor. Som betalning får den första köpmannen en krona första dagen, två kronor den andra etcetera i en månad. Den andra köpmannen accepterar förslaget och redan den tredje veckan har han betalat flera miljoner kronor.
  • Vid en hästaffär är en köpare missnöjd med det höga priset. Säljaren föreslår att han ska få ett öre för den första sömmen, spiken, i hästens sko, två för den andra, fyra för den tredje etcetera. Varje hästsko har sex sömmar vilket ger ett slutpris på 168 000 kronor.
Kommentarer? Synpunkter?

Rekommenderade gratistjänster

  • Få en snabb och enkel överblick över din ekonomi genom att klicka här!
  • Jämför elpriser och byt elavtal enkelt och kostnadsfritt genom att klicka här!
  • Få en total och gratis överblick på alla dina pensioner genom att klicka här!
  • Jämför och hitta de billigaste och bästa försäkringarna genom att klicka här!
  • Gör aktie- och fondaffärer utan courtage - klicka här!
  • Jämför alla kort och sänk dina kostnader - klicka här!
  • gratis återbäring på dina inköp online - klicka här!
  • Besök seminariet "Ett rikare liv" - klicka här!
  • Ta del av Classier Hedge, en dynamisk investeringsstrategi - klicka här!
  • Skaffa dig gratis ett kostnadsfritt bokförings- och faktureringsprogram - klicka här!
  • Rabattkoder, deals och REA för dig som vill spara pengar när du handlar på nätet - klicka här!
  • Låt bankerna slåss om ditt lån! Mata in dina uppgifter. Därefter får olika banker bjuda på hur låg ränta de vill erbjuda dig. För privatlån klicka här! För bolån klicka här!
  • Checklista flyttstädning Stockholm här.